Produit scalaire et projeté orthogonal

Définition

Soit une droite \((d)\) et un point \(\text{M}\) du plan.
Le projeté orthogonal du point \(\text{M}\) sur la droite \((d)\) est le point d'intersection entre la droite \((d)\) et la perpendiculaire à la droite \((d)\) passant par le point \(\text{M}\).

Exemple

Sur la figure ci-dessous, le point \(\text{H}\) est le projeté orthogonal du point \(\text{M}\) sur la droite \((d)\).

Propriété

Soit \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) trois points du plan, \(\text A\) et \(\text B\) étant distincts.
Si \(\text H\) est le projeté orthogonal du point \(\text C\) sur la droite \((\text A\text B)\), alors  \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{A}\color{red}{\text{C}}}=\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{A}\color{red}{\text{H}}}}\).
(Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on projette orthogonalement un des vecteurs sur la direction de l’autre.)

Remarques

Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AH}}\) sont colinéaires. Voici les différentes configurations possibles.

• Si l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est aigu, les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AH}}\) sont de même sens.
  Ainsi \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\text{AB}\times \text{AH}\).

En se plaçant dans le triangle \(\text{HAC}\) rectangle en \(\text{H}\), on a : \(\cos\left(\widehat{\text{BAC}}\right)=\cos\left(\widehat{\text{HAC}}\right)=\dfrac{\text{AH}}{\text{AC}}\), d'où \(\text{AH}=\text{AC} \times \cos\left(\widehat{\text{BAC}}\right)\). On retrouve la définition du produit scalaire.

• Si l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est obtus, les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AH}}\) sont de sens contraire.
  Ainsi \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=-\text A\text B\times \text A\text H\).

• Si l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est droit, le point \(\text{H}\) est confondu avec le point \(\text{A}\).
  Ainsi \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=0\).